Question

11．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₁）-f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；
（3）在（2）的条件下，若f（5）=-1，求f（x）在[3，25]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法进行求解．
（2）根据函数单调性的定义进行证明．
（3）根据函数单调性和抽象函数的关系进行转化求解即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂＞0，
代入得f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0，
故f（1）=0．…（4分）
（2）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，因此f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分）
（3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
所以f（x）在[3，25]上的最小值为f（25）．
由f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₁）-f（x₂）得，
f（5）=f（$\frac{25}{5}$）=f（25）-f（5），而f（5）=-1，
所以f（25）=-2．
即f（x）在[3，25]上的最小值为-2．…（12分）

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键．