Question

7．已知抛物线C：y²=2px上一点$A（{\frac{1}{2}，a}）$到焦点F距离为1，
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l过点（0，2）与抛物线交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线的方程．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义建立方程，求出p，即可求出抛物线C的方程；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{y^2}=2x\end{array}\right.$得ky²-2y+4=0，利用OM⊥ON，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，即x₁•x₂+y₁•y₂=0，求出k，即可求直线的方程．

解答 解：（1）依据抛物线的定义知：A到抛物线焦点F的距离为$AF=\frac{1}{2}+\frac{p}{2}=1$，
所以p=1，抛物线的方程为y²=2x；---------（5分）
（2）依题意，直线l的方程设为y=kx+2（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{y^2}=2x\end{array}\right.$得ky²-2y+4=0，
由△=4-16k＞0，得$k＜\frac{1}{4}$；${y_1}{y_2}=\frac{4}{k}$--------（7分）
∵OM⊥ON，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，即x₁•x₂+y₁•y₂=0---------（9分）
∴$\frac{{{{（{{y_1}{y_2}}）}^2}}}{4}+{y_1}{y_2}=0$，即$\frac{16}{{4{k^2}}}+\frac{4}{k}=0$，解得k=-1---------（11分）
所以直线l的方程为y=-x+2，即x+y-2=0---------1（2分）

点评 此题主要考查直线与抛物线相交后的一系列问题，其中涉及到韦达定理的考查，在交点问题的求法中应用很广泛，需要理解记忆．