Question

12．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA₁=6，点M时BB₁中点．
（1）求证；平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C；
（2）求点A到平面A₁MC的距离．

Answer 1

分析 （1）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C．
（2）由$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，6），平面A₁MC的法向量$\overrightarrow{n}$=（3，-3，4），利用向量法能求出点A到平面A₁MC的距离．

解答 证明：（1）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意A₁（0，4，6），M（0，0，3），C（4，0，0），A（0，4，0），
$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（0，4，3），$\overrightarrow{MC}$=（4，0，-3），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，6），$\overrightarrow{AC}$=（4，-4，0），
设平面A₁MC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{M{A}_{1}}=4y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=4x-3z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，-3，4），
设平面AA₁C₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=6c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=4a-4b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C．
解：（2）∵$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，6），平面A₁MC的法向量$\overrightarrow{n}$=（3，-3，4），
∴点A到平面A₁MC的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{24}{\sqrt{34}}$=$\frac{12\sqrt{34}}{17}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．