Question

7．如图所示，三棱锥D-ABC中，AC，BC，CD两两垂直，AC=CD=1，$BC=\sqrt{3}$，点O为AB中点．
（Ⅰ）若过点O的平面α与平面ACD平行，分别与棱DB，CB相交于M，N，在图中画出该截面多边形，并说明点M，N的位置（不要求证明）；
（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当M为棱DB中点，N为棱BC中点时，平面α∥平面ACD．
（Ⅱ）由V_C-ABD=V_D-ABC，利用等体积法能求出点C到平面ABD的距离．

解答 解：（Ⅰ）当M为棱DB中点，N为棱BC中点时，
平面α∥平面ACD．…（6分）
解：（Ⅱ）∵CD⊥AC，CD⊥BC，
∴直线CD⊥平面ABC，…（8分）
$AD=\sqrt{A{C^2}+C{D^2}}=\sqrt{{1^2}+{1^2}}=\sqrt{2}$，
$BD=\sqrt{B{C^2}+C{D^2}}=\sqrt{3+1}=2$．
又$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=\sqrt{1+3}=2$．
∴AB=BD，…（9分）
设点E是AD的中点，连接BE，则BE⊥AD，
∴$BE=\sqrt{A{B^2}-A{E^2}}=\sqrt{{2^2}-{{（\sqrt{2}/2）}^2}}=\frac{{\sqrt{14}}}{2}$，
${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AD•BE=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{14}}}{2}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．
又V_C-ABD=V_D-ABC，
而${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
设点C到平面ABD的距离为h，
则有$\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•CD$，…（10分）
即$\frac{{\sqrt{7}}}{2}•h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}×1$，∴$h=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴点C到平面ABD的距离为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查面面平行的判断，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间垂直关系的转化与证明、点到面的距离、线面平行、面面平行问题的合理运用．