Question

16．已知函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）+cosx+a$的最大值为1．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）若A为△ABC的内角，$A∈（{0，\frac{π}{2}}）$，$f（A）=\sqrt{3}-1$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，AB=$2\sqrt{3}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a由最大值为1可2+a=1，解方程可得；
（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）可得$A=\frac{π}{6}$，由三角形的面积公式可得b=2，再由余弦定理可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：
f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx+cosx+a
=$\sqrt{3}$sinx+cosx+a=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a
由最大值为1可2+a=1，解得a=-1，
∴$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）-1$；
（Ⅱ）由$f（A）=2sin（A+\frac{π}{6}）-1=\sqrt{3}-1$，$A∈（{0，\frac{π}{2}}）$，得$A=\frac{π}{6}$，
∵$S=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，∴b=2，∵a²=b²+c²-2bccosA=4，
∴a=2，即BC的长为2．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题．