Question

11．已知正实数x，y满足4x²-2xy+y²=1，则2x+y的取值范围是（1，2]；2x-y的取值范围是（-1，1）．

Answer 1

分析 令t=2x+y，则y=-2x+t，t＞0，代入4x²-2xy+y²=1得12x²-6tx+t²-1=0，由△=36t²-48（t²-1）≥0，结合4x²+4xy+y²=1+6xy＞1，即（2x+y）²＞1，解关于2x+y的不等式可得2x+y的取值范围；
令t=2x-y，则y=2x-t，代入4x²-2xy+y²=1得：4x²-2tx+t²-1=0，由△=4t²-16（t²-1）≥0，结合4x²-4xy+y²=1-2xy＜1，即（2x-y）²＜1，解关于2x-y的不等式可得2x-y的取值范围；

解答 解：令t=2x+y，则y=-2x+t，t＞0，
代入4x²-2xy+y²=1得：4x²-2x（-2x+t）+（-2x+t）²=1，
即12x²-6tx+t²-1=0，
由△=36t²-48（t²-1）≥0得：t∈[-2，2]，
又由4x²+4xy+y²=1+6xy＞1，即（2x+y）²＞1，
解得：2x+y∈（1，+∞），
故2x+y∈（1，2]，
同理令t=2x-y，则y=2x-t，
代入4x²-2xy+y²=1得：4x²-2x（2x-t）+（2x-t）²=1，
即4x²-2tx+t²-1=0，
由△=4t²-16（t²-1）≥0得：t∈[-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]，
又由4x²-4xy+y²=1-2xy＜1，即（2x-y）²＜1，
解得：2x-y∈（-1，1），
故2x-y∈（-1，1），
故答案为：（1，2]，（-1，1）

点评 本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目