Question

4．已知函数$f（x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^x}-{a^{-x}}）\;（a＞0且a≠1）$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）根据函数单调性的定义判断其单调性，从而求出函数的最小值，求出m的范围．

解答 解：（1）在函数f（x）的定义域R上任取一自变量x
因为$f（-x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^{-x}}-{a^x}）$=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数；┅（3分）
（2）当a＞1时，在[-1，1]上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^{x_1}}-{a^{-{x_1}}}-{a^{x_2}}+{a^{-{x_2}}}}）$
=$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^{x_1}}-{a^{x_2}}}）（{1+\frac{1}{{{a^{x_1}}{a^{x_2}}}}}）$，
∵0≤x₁＜x₂≤1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以函数f（x）在x∈[-1，1]时为增函数，┅（4分）
当0＜a＜1时，同理可证函数f（x）在x∈[-1，1]时为增函数，
$f{（x）_{min}}=f（-1）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a-{a^{-1}}}）=1$，
所以m≤1┅（3分）

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性、奇偶性问题，是一道基础题．