Question

12．已知数列{a_n}中a₁=3，其前n项和S_n满足S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是公差为3的等差数列，b₁=1．现将数列{a_n}中的a${\;}_{{b}_{1}}$，a${\;}_{{b}_{2}}$，…a${\;}_{{b}_{n}}$…抽出，按原有顺序组成一新数列{c_n}，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=b₁+（n-1）d=3n-2，可得${c_n}={a_{b_n}}={a_{3n-2}}={3^{3n-2}}$，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，${S_1}={a_1}=\frac{1}{2}{a_2}-\frac{3}{2}=3$，∴a₂=9            （2分）
∵${S_n}=\frac{1}{2}•{a_{n+1}}-\frac{3}{2}$，
∴${S_{n-1}}=\frac{1}{2}•{a_n}-\frac{3}{2}，\;（n≥2）$，
相减得：$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=3\;（n≥2）$，
∴a_n=${a}_{2}•{3}^{n-2}$=3ⁿ，（5分）
当n=1时，符合${a_n}={3^n}$，（6分）
∴${a_n}={3^n}$．                                           （7分）
（Ⅱ）b_n=b₁+（n-1）d=3n-2，（9分）
${c_n}={a_{b_n}}={a_{3n-2}}={3^{3n-2}}$              （12分）
∴{c_n}是以3为首项，以27为公比的等比数列，
∴${T_n}=\frac{{3（1-{{27}^n}）}}{1-27}=\frac{3}{26}（{27^n}-1）$                （15分）

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．