Question

20．下列结论中：
①函数$y=x（1-2x）（0＜x＜\frac{1}{2}）$有最大值为$\frac{1}{8}$；
 ②函数y=2-3x-$\frac{4}{x}$（x＜0）有最大值2-4$\sqrt{3}$； 
③若a＞0，则$（1+a）（1+\frac{1}{a}）≥4$．
正确的序号为①③．

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的规则，逐个验证可得．

解答 解：由0＜x＜$\frac{1}{2}$可得0＜1-2x＜1，
∴y=x（1-2x）=$\frac{1}{2}$•2x•（1-2x）≤$\frac{1}{2}$（$\frac{2x+1-2x}{2}$）²=$\frac{1}{8}$，
当且仅当2x=1-2x即x=$\frac{1}{4}$时取等号，
故函数$y=x（1-2x）（0＜x＜\frac{1}{2}）$有最大值为$\frac{1}{8}$，①正确；
∵x＜0，∴-x＞0，∴y=2-3x-$\frac{4}{x}$=2+[（-3x）+（$\frac{4}{-x}$）]
≥2+2$\sqrt{（-3x）•\frac{4}{-x}}$=2+4$\sqrt{3}$，当且仅当（-3x）=（$\frac{4}{-x}$）即x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时取等号，
故函数y=2-3x-$\frac{4}{x}$（x＜0）有最小值2+4$\sqrt{3}$，②错误；
∵a＞0，∴（1+a）（1+$\frac{1}{a}$）=2+a+$\frac{1}{a}$≥2+2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=4
当且仅当a=$\frac{1}{a}$即a=1时取等号，故③正确；
故答案为：①③

点评 本题考查基本不等式，逐个验证是解决问题的关键，属基础题．