Question

10．在四棱锥P-ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形（如图），在棱PB，PC上各有一点M、N，且四边形AMND的周长最小，点S从A出发依次沿四边形AM，MN，ND运动至点D，记点S行进的路程为x，棱锥S-ABCD的体积为V（x），则函数V（x）的图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据棱锥的体积公式求出函数的解析式，并根据正四棱锥侧面展开图，从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4$\sqrt{2}$，求出x的范围，判断函数的图象即可．

解答 解：四棱锥P-ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，
∴BC²=PB²+PC²-2PB•PCcos30°=16+16-2×4×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=32-16$\sqrt{3}$，
∴底面正方形的面积s=32-16$\sqrt{3}$，h=xtan30°，
∴V（x）=$\frac{1}{3}$sh=$\frac{32-16\sqrt{3}}{3}$xtan30°，为线性函数，
∵四边形AMND的周长最小，正四棱锥侧面展开图如图所示，
∴正四棱锥侧面展开图，从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4$\sqrt{2}$，
∴x≤4$\sqrt{2}$
故选：C．

点评 本题考查了函数解析式的求法，棱锥的体积公式，最短路线问题，属于中档题．