Question

5．如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，BC=$\sqrt{2}$，M是AD的中点，N是B₁C₁中点．
（1）求证：NA₁∥CM；
（2）求证：平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁；
（3）求直线A₁B和平面A₁MCN所成角．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，求出$\overrightarrow{N{A}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1，0），$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1，0），可得$\overrightarrow{N{A}_{1}}$=$\overrightarrow{CM}$，即可证明NA₁∥CM；
（2）$\overrightarrow{{D}_{1}B}$•$\overrightarrow{MN}$=0+1-1=0，$\overrightarrow{{D}_{1}B}$•$\overrightarrow{CM}$=0，即可证明D₁B⊥平面A₁MCN，从而平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁．
（3）由（2）得B到平面A₁MCN的距离为d=$\frac{B{D}_{1}}{2}$=1，A₁B=$\sqrt{2}$，即可求直线A₁B和平面A₁MCN所成角．

解答 证明：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，则B（$\sqrt{2}$，1，0），A（$\sqrt{2}$，0，1），D₁（0，0，1），C（0，1，0），M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），N（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，1），
∴$\overrightarrow{N{A}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1，0），$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1，0），
∴$\overrightarrow{N{A}_{1}}$=$\overrightarrow{CM}$，
∴NA₁∥CM；
（2）∵$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，-1），$\overrightarrow{MN}$=（0，1，1），$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1，0），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}B}$•$\overrightarrow{MN}$=0+1-1=0，$\overrightarrow{{D}_{1}B}$•$\overrightarrow{CM}$=0，
∴D₁B⊥MN，D₁B⊥CM，
又MN∩CM=M，
∴D₁B⊥平面A₁MCN，又D₁B?平面A₁BD₁，
∴平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁．
（3）由（2）得B到平面A₁MCN的距离为d=$\frac{B{D}_{1}}{2}$=1，A₁B=$\sqrt{2}$，
∴直线A₁B和平面A₁MCN所成角的正弦值为$\frac{d}{{A}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线A₁B和平面A₁MCN所成角为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间向量的运用，正确求出向量的坐标是关键．