Question

5．不等式x²-x+a＞0，对任意x∈（a，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 不等式对应的二次函数的二次项系数大于0，对应的图象是开口向上的抛物线，当判别式小于等于0时，不等式对任意实数恒成立，当判别式大于0时，需对称轴在直线x=a的左侧，当x=a时对应的函数式的值大于等于0，由此列式可求得实数a的取值范围．

解答 解：设f（x）=x²-x+a，因为对称轴为x=$\frac{1}{2}$＞0，
当△=1-4a＜0，即a＞$\frac{1}{4}$时，不等式x²-x+a＞0，对任意x∈（a，+∞）恒成立，
当△=1-4a≥0，即a≤$\frac{1}{4}$时，不等式x²-x+a＞0，对任意x∈（a，+∞）恒成立，
∴a²-a+a＞0且a≥$\frac{1}{2}$，
∴a∈∅
综上所述a的取值范围（$\frac{1}{4}$，+∞）
故答案为：（$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，训练了“三个二次”结合处理有关问题，是中档题．