Question

12．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C-ABB₁A₁的体积等于4．
（1）求AA₁的值；
（2）求C₁到平面A₁B₁C的距离．

Answer 1

分析 （1）由四棱锥的体积${V}_{C-AB{B}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}×$AB×AA₁×AC，代入已知即可解得AA₁的值．
（2）设C₁到平面A₁B₁C的距离为h，先证明B₁A₁⊥CA₁，由已知及勾股定理可求A₁C=$\sqrt{13}$，由${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}C}$=${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，利用三棱锥体积公式可得：$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{13}$×h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$2×2×3，即可解得C₁到平面A₁B₁C的距离为$\frac{6\sqrt{13}}{13}$．

解答 解：（1）∵${V}_{C-AB{B}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}×$AB×AA₁×AC=$\frac{1}{3}×2×2×$AA₁=4，
∴AA₁=3．
（2）∵B₁A₁⊥C₁A₁，B₁A₁⊥A₁A，A₁A∩B₁A₁=A₁，
∴B₁A₁⊥平面A₁C₁C，A₁C?平面A₁C₁C，
∴B₁A₁⊥CA₁，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，设C₁到平面A₁B₁C的距离为h，
∴A₁C=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}C}$=${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}×{A}_{1}{B}_{1}×{A}_{1}C×$h=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{13}$×h，
${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$×A₁B₁×C₁A₁×CC₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$2×2×3，
∴$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{13}$×h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$2×2×3，解得：h=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$．
故C₁到平面A₁B₁C的距离$\frac{6\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题主要考查了直线与直线垂直的判定，考查了三棱锥，四棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．