Question

2．如图，底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V-ABCD可绕着棱AB任意旋转，若AB?平面α，M、N分别是AB、CD的中点，AB=2，VA=$\sqrt{5}$，点V在平面α上的射影为点O，则当ON的最大时，二面角C-AB-O的大小是（　　）

• A． 90°
• B． 105°
• C． 120°
• D． 135°

Answer 1

分析 根据条件确定二面角的平面角，结合余弦定理以及两角和差的余弦公式以及倍角公式进行求解即可．

解答 解：设∠VMO=θ，
则∵M、N分别是AB、CD的中点，AB=2，VA=$\sqrt{5}$，
∴AM=1，VM=$\sqrt{V{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{5-1}=\sqrt{4}$=2，
MN=BC=AB=2，VN=VM=2，
则三角形VNM为正三角形，则∠NMV=60°，
则OM=2cosθ，
在三角形OMN中，
ON²=MN²+OM²-2MN•OMcos（60°+θ）=4+4cos²θ-2×2×2cosθcos（60°+θ）
=4+4cos²θ-8cosθ（$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ）
=4+4cos²θ-4cos²θ+4$\sqrt{3}$sinθcosθ
=4+2$\sqrt{3}$sin2θ，
∴要使ON最大，则只需要sin2θ=1，即2θ=90°即可，则θ=45°，
此时二面角C-AB-O的大小∠OMN=60°+θ=60°+45°=105°，
故选：B

点评 本题主要考查二面角的求解，根据条件求出二面角的平面角．结合余弦定理以及两角和差的余弦公式进行化简是解决本题的关键．