Question

12．已知函数$f（x）=\frac{{\sqrt{a}x+b}}{{1+{x^2}}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断并证明f（x）在（-1，1）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据条件，奇函数f（x）在原点有定义，从而f（0）=b=0，从而$f（x）=\frac{\sqrt{a}x}{1+{x}^{2}}$，而根据$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$便可求出a=1，这样便得出a，b的值；
（2）写出$f（x）=\frac{x}{1+{x}^{2}}$，根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，便得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$，可以说明f（x₁）＜f（x₂），从而得出f（x）在（-1，1）上为增函数．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数；
∴f（0）=b=0；
得$f（x）=\frac{{\sqrt{a}x}}{{1+{x^2}}}$；
而$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}\sqrt{a}=\frac{2}{5}$；
∴a=1；
∴a=1，b=0；
（2）$f（x）=\frac{x}{1+{x}^{2}}$，设x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，则：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}$；
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0；
∴$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上为增函数．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．