Question

7．若α，β为锐角，$cos（\frac{π}{4}+α）=\frac{1}{3}，cos（\frac{π}{4}+\frac{β}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则$cos（α-\frac{β}{2}）$=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{6}}}{9}$
• D． $\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$

Answer 1

分析 由同角三角函数基本关系可得sin（$\frac{π}{4}$+α）和sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{β}{2}$），整体代入两角差的余弦公式计算可得．

解答 解：α，β为锐角，$cos（\frac{π}{4}+α）=\frac{1}{3}，cos（\frac{π}{4}+\frac{β}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}+α）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{β}{2}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}+\frac{β}{2}）}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$cos（α-\frac{β}{2}）$=cos[（$\frac{π}{4}$+α）-（$\frac{π}{4}$+$\frac{β}{2}$）]
=cos（$\frac{π}{4}$+α）cos（$\frac{π}{4}$+$\frac{β}{2}$）+sin（$\frac{π}{4}$+α）sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{β}{2}$）
=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．
故选：D．

点评 本题考查两角和与差的余弦公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．