Question

19．已知集合D=$\left\{{（x，y）\left|{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\right.}\right\}$，有下面四个命题：
p₁：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$≥3        p₂：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$＜1
p₃：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$＜4        p₄：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$≥2
其中的真命题是（　　）

• A． p₁，p₃
• B． p₁，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₂，p₄

Answer 1

分析 集合D=$\left\{{（x，y）\left|{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\right.}\right\}$表示焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2$\sqrt{3}$的椭圆，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$表示椭圆上的点到（1，0）点的距离，进而得到答案．

解答 解：集合D=$\left\{{（x，y）\left|{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\right.}\right\}$表示焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2$\sqrt{3}$的椭圆，

$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$表示椭圆上的点到（1，0）点的距离d，
则d∈[1，3]，
故p₁：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$≥3，为真命题，
p₂：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$＜1，为假命题，
p₃：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$＜4，为真命题，
p₄：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$≥2，为假命题，
故p₁，p₃是真命题，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，两点之间的距离公式，全称命题和特称命题，难度中档．