【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
:
(
)的左、右焦点分别为
,离心率为
,以原点为圆心,以椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切. 过点
的直线与椭圆
相交于
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,求直线的方程;
(3)求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)离心率为即
,以原点为圆心,以椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切,即圆心到直线
的距离
,解得
,
,所以椭圆
的方程为
;
(2)①当直线的斜率为时,不符合题意;②当直线的斜率不为
时,设直线方程为
,联立直线的方程和椭圆的方程,消去
,写出根与系数关系,得
,
,由
可得
,
,
.所以直线方程为
或
;
(3)由(2)结合弦长公式、点到直线距离公式,可求得的表达式为
,利用基本不等式求得最大值为
.
试题解析:
(1)设椭圆方程为(
),
∵离心率为,∴
,即
,又
,∴
.
∵以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切,
∴圆心到直线的距离
,∴
,
.
∴椭圆的方程为
(2)由题意可设直线方程为
①当直线的斜率为0时,不符合题意;
②当直线的斜率不为0时,则直线方程为,
可设,
,由
可得
,得
.
由得
,由
,
则,
,
可得方程为,解得
,
.
∴直线方程为或
.
(3)由(2)可得
当且仅当时“=”成立,即
时,
面积的最大值为2.
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【题目】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与轴非负半轴重合,直线
的参数方程为:
为参数),曲线
的极坐标方程为:
.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(2)设直线与曲线
相交于
两点,求
的值.
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【题目】已知函数(
且
).
(1)当时,函数
恒有意义,求实数
的取值范围;
(2)是否存在这样的实数,使得函数
在区间
上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度(单位:千米时)是车流密度
(单位:辆千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当
时,车流速度
是车流密度
的一次函数.
(1)当时,求函数
的表达式;
(2)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时
)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)
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【题目】从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差
(用同一组数据用该区间的中点值用代表);
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数,利用(i)的结果,求
.
附:,若
,则
,
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【题目】下列说法:①若 (其中
)是偶函数, 则实数
;
②既是奇函数又是偶函数;③若
,当
时,,则
;④已知
是定义在
上的不恒为零的函数, 且对任意的
都满足
, 则
是奇函数。其中所有正确命题的序号是
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