Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（0，sinx），$\overrightarrow{c}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{d}$=（sinx，sinx）
（1）当x=-$\frac{π}{4}$时，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$的最大值；
（3）设函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$），将函数f（x）的图象向右平移s个长度单位，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，令$\overrightarrow{m}$=（s，t），求|$\overrightarrow{m}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）当x=-$\frac{π}{4}$时，由cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$，可得向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ的值．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求得sin（2x-$\frac{π}{4}$）的范围，再根据$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，可得它的最大值．
（3）利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得函数g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$-2s）+t，结合 g（x）=2sin2x+1，可得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{π}{12}$-kπ，1），从而求得|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（\frac{π}{12}-kπ）}^{2}+1}$ 的最小值．

解答 解：已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（0，sinx），$\overrightarrow{c}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{d}$=（sinx，sinx）
（1）当x=-$\frac{π}{4}$时，由cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{0-sinxcosx}{2|cosx|•|sinx|}$=$\frac{-sin（-\frac{π}{4}）•cos（-\frac{π}{4}）}{2cos\frac{π}{4}•sin\frac{π}{4}}$=$\frac{1}{2}$，可得向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ=$\frac{π}{3}$．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．
根据$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$=sin²x+sinxcosx=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
可得当2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$=sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$取得最大值为$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
（3）函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$）=（$\sqrt{3}$cosx，cosx-sinx）•（2sinx，sinx+cosx）
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
将函数f（x）的图象向右平移s个长度单位，可得函数y=2sin[2（x-s）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{6}$-2s） 的图象；
再把所得图象向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$-2s）+t的图象，
结合 g（x）=2sin2x+1，可得t=1，$\frac{π}{6}$-2s=0+2kπ，s=$\frac{π}{12}$-kπ，k∈Z．
令$\overrightarrow{m}$=（s，t），则$\overrightarrow{m}$=（$\frac{π}{12}$-kπ，1），∴当k=0时，|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（\frac{π}{12}-kπ）}^{2}+1}$ 取得最小值为$\sqrt{{（\frac{π}{12}）}^{2}+1}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．