Question

如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁⊥A₁C，A₁B₁⊥B₁C₁，AB=3，A₁A=AC=5，二面角A₁-AB-C大小为

π

3

，二面角A₁-AC-B的大小为θ，则tanθ为

 

．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：计算题,空间角

分析：证明平面ABC⊥平面A₁BC，∠A₁BC是二面角A₁-AB-C平面角，取BC的中点E，证明∠A₁DE是二面角A₁-AC-B的平面角，即可求出结论．

解答： 解：根据棱台性质可知，A₁B₁∥AB，A₁B₁⊥A₁C（已知），∴AB⊥A₁C，A₁B₁⊥B₁C₁，
B₁C₁∥BC，AB∥A₁B₁，∴AB⊥BC，
∵A₁C∩BC=C，AB⊥平面A₁BC，
∵AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面A₁BC．
由△A₁BA是RT△，∠A₁BA=90°，根据勾股定理，A₁B=4．∠CBA=90°，BC=4，
∵A₁B⊥AB，BC⊥AB，∴∠A₁BC是二面角A₁-AB-C平面角，∴∠A₁BC=60°，
由三角形A₁BC是等边三角形，S_△A1BC=

1

2

•4•4sin60°=4

3

，
∴V_C-A1BA=

1

3

S_△A1BC•AB=4

3

．
取BC的中点E，△A₁BC是等边三角形，A₁E⊥BC，由前所述，平面ABC⊥平面A₁BC，
∴A₁E⊥平面ABC，E是A₁在平面ABC的射影，
过E作ED⊥AB，根据三垂线定理可知A₁D⊥AC，∠A₁DE是二面角A₁-AC-B的平面角，A₁E=2

3

，
∵△CED∽△CAB，∴

DE

AB

=

CE

AC

，
∴DE=

6

5

，
∴tan∠A₁DE=

2 3

6 5

=

5 3

3

，
∴tanθ=

5 3

3

．

点评：本题考查面面角，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．