Question

已知函数f(x)=

ex

x-a

（其中a为常数，且a＜0）．
（1）求函数f（x）的定义域及单调区间；
（2）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式f(x)≤

1

e

成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分式函数使分母不为零即{x|x≠a}，先求导数fˊ（x），然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；确定出单调区间．
（2）转化成 f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值小于等于

1

e

，利用导数求出函数f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值，注意讨论．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}．（1分）
f′（x）=

ex(x-a)-ex•1

(x-a)2

=

ex[x-(a+1)]

(x-a)2

．（3分）
由f'（x）＞0，解得x＞a+1．
由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．
∴f（x）的单调递增区间为（a+1，+∞），
单调递减区间为（-∞，a），（a，a+1）；（6分）
（Ⅱ）由题意可知，a＜0，且f（x）=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值小于等于

1

e

时，
存在实数x∈（a，0]，使得不等式f（x）≤

1

e

成立．（7分）
若a+1＜0即a＜-1时，

∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=e^a+1．
则e^a+1≤

1

e

，得a≤ln

1

e

-1=-2．（10分）
若a+1≥0即a≥-1时，f（x）在（a，0]上单调递减，
则f（x）在（a，0]上的最小值为f（0）=-

1

a

．
由-

1

a

≤

1

e

得a≤-2（舍）．（12分）
综上所述，a≤-2．则a的取值范围是（-∞，-2]．

点评：本题考查了函数的定义域、单调性以及利用导数求解恒成立问题，是高考中的热点问题．