Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（1）若b_n=a_2n-1-

1

3

，求证：数列{b_n}是等比数列并求其通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知递推关系式推出a_2n+1=4a_2n-1-1，然后证明

bn+1

bn

=4，即可证明数列{b_n}是等比数列，即可求其通项公式；
（2）利用（1）两个数列的关系式，通过n为奇数与偶数求数列{a_n}的通项公式；
（3）通过n为奇数与偶数分别求解

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

的和，然后判断与3的大小关系即可．．

解答： （本小题满分15分）
解：（1）a2n+1=2a2n+(-1)2n=2[2a2n-1+(-1)2n-1]+1=4a2n-1-1，…（2分）

bn+1

bn

=

a2n+1- 1 3

a2n-1- 1 3

=

4a2n-1- 4 3

a2n-1- 1 3

=4，又b1=a1-

1

3

=

2

3

．
所以{b_n}是首项为

2

3

，公比为4的等比数列，且bn=

2

3

×4n-1．…（5分）
（2）由（1）可知a2n-1=bn+

1

3

=

2

3

×4n-1+

1

3

=

1

3

(22n-1+1)，…（7分）a2n=2a2n-1+(-1)2n-1=

2

3

(22n-1+1)-1=

1

3

(22n-1)．…（9分）
所以an=

1

3

(2n+(-1)n+1)，
或an=

1 3 (2n-1)；(n=2k) 1 3 (2n+1)．(n=2k-1)

…（10分）
（3）∴a2n=

1

3

•22n-

1

3

，a2n-1=

2

3

•22n-1+

1

3

．

1

a2n-1

+

1

a2n

=

3

22n-1+1

+

3

22n-1

=

3×(22n+22n-1)

22n-1•22n+22n-22n-1-1

=

3×(22n+22n-1)

22n-1•22n+22n-1-1

≤

3×(22n+22n-1)

22n-1•22n

=3(

1

22n-1

+

1

22n

)…（12分）
当n=2k时，(

1

a1

+

1

a2

)+(

1

a3

+

1

a4

)+…+(

1

a2k-1

+

1

a2k

)
≤3(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22k

)=3×

1 2 (1- 1 22k )

1- 1 2

=3-

3

22k

＜3
当n=2k-1时，(

1

a1

+

1

a2

)+(

1

a3

+

1

a4

)+…+(

1

a2k-3

+

1

a2k-2

)+

1

a2k-1

＜(

1

a1

+

1

a2

)+(

1

a3

+

1

a4

)+…+(

1

a2k-1

+

1

a2k

)＜3
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3．…（15分）

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，前n项和的求法，数列与不等式的关系，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．