Question

已知，，数列满足，

， ．

（I）求证：数列是等比数列；

（II）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（I）证明见答案（II）

解析:

（I）∵，，，

        ∴．

        即．

        又若a_n≠1，则a_n+1≠1，事实上当a_n≠1时，由知，若a_n+1=1，则a_n=1，从而与a_n≠1矛盾，故a_n+1≠1．

由此及≠1可知a_n≠1对任意n∈N都成立．

       故对任何，，

所以．

        ∵，

      ∴是以为首项，为公比的等比数列.

   

  （II）由，得 

        依题意（*）式对任意恒成立，

        ①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不符合题意．

　　　　　②当t<0时，由，可知（）．

　而当m是偶数时，因此t<0不符合题意．

　　　　　③当t>0时，由（）,

∴ ，∴．（）

　　　　　　设  （），

　　　　　　∵ =,

　　　　　　∴．

　　　　　　∴的最大值为．

　　　　　　所以实数的取值范围是．