Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，Sn=

a 2 n +an

2

，n∈N^*，
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=2，bn+1=2an+bn，求b_n．

Answer 1

分析：（1）先利用S₁=a₁求得a₁，再利用a_n=S_n-S_n-1求得当n≥2时a_n-a_n-1=1，判断出{a_n}是a₁=1，公差为1的等差数列，进而利用等差数列的性质求得数列的前n项的和．
（2）把（1）中求得的a_n代入bn+1=2an+bn整理可求得b_n+1-b_n=2ⁿ，进而用叠加法求得数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=a₁=

a 2 1 +a1

2

∴a₁²-a₁=0．由a₁＞0，
得a₁=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

a 2 n +an

2

-

a 2 n-1 +an-1

2

整理得a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，?（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
由a_n＞0，只有a_n-a_n-1-1=0，即a_n-a_n-1=1
所以{a_n}是a₁=1，公差为1的等差数列，an=n， Sn=

n2+n

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn+1-bn=2an=2ⁿ
所以（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）++（b_n-b_n-1）=2¹+2²+2³++2^n-1
即b_n-b₁=2ⁿ-2，又b₁=2，所以b_n=2ⁿ．

点评：本题主要考查了等差数列的前n项的和．解题的关键是利用a_n=S_n-S_n-1得出数列的递推式．