Question

已知数列{a_n}的前三项与数列{b_n}的前三项对应相同，且a₁+2a₂+2²a₃…+2^n-1a_n=8n对任意的n∈N⁺都成立，数列{b_n+1-b_n}是等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{b_n}的通项公式；
（III）问是否存在k∈N^*，使f（k）=b_k-a_k∈（0，1）？并说明理由．

Answer 1

解：（I）已知a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n（n∈N^*）①
n≥2时，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=8（n-1）（n∈N^*）②
①-②得2^n-1a_n=8，解得a_n=2^4-n，在①中令n=1，可得a₁=8=2^4-1，
所以a_n=2^4-n（n∈N^*）（4分）
（II）由题意b₁=8，b₂=4，b₃=2，所以b₂-b₁=-4，b₃-b₂=-2，
∴数列{b_n+1-b_n}的公差为-2-（-4）=2，
∴b_n+1-b_n=-4+（n-1）×2=2n-6，
b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=8+（-4）+（-2）+…+（2n-8）=n²-7n+14（n∈N^*）、（8分）
（III）b_k-a_k=k²-7k+14-2^4-k，当k≥4时，f（k）=（k-）²+-2^4-k单调递增，
且f（4）=1，所以k≥4时，f（k）=k²-7k+14-2^4-k≥1．
又f（1）=f（2）=f（3）=0，所以，不存在k∈N^*，使得b_k-a_k∈（0，1）．（12分）
分析：（I）利用a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n推出n-1时的表达式，然后作差求出数列{a_n}的通项公式，
（II）利用数列{b_n+1-b_n}是等差数列利用累加法求出{b_n}的通项公式；
（III）化简b_k-a_k=k²-7k+14-2^4-k，通过k≥4时，f（k）=（k-）²+-2^4-k单调递增，且f（4）=1，所以k≥4时，f（k）≥1，结合f（1）=f（2）=f（3）=0，说明不存在k∈N^*，使得b_k-a_k∈（0，1）．
点评：本题主要考查等差关系的确定，等差数列、等比数列的通项公式，递推关系式的应用，二次函数的性质应用，数列与函数的关系，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．