Question

已知函数f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若数列x_n的项满足x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，试求x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）猜想数列x_n的通项，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1）∵f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
∴

b+1

(a+1)2

=log₁₆2=

1

4

，

-2b+1

(-2a+1)2

=1
解得：

a=1 b=0

∴函数f(x)=

1

(x+1)2

（2）由（1）中f(x)=

1

(x+1)2

∴x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，
当n=1时，x1=

3

4

．
当n=2时，x2=

4

6

，
当n=3时，x3=

5

8

，
当n=4时，x4=

6

10

（3）由（2）中结论我们易得：xn=

n+2

2(n+1)

．
当n=1时，结论显然成立
设n=k时，结论成立，即xk=

k+2

2(k+1)

则当n=k+1时，xk+1=xk•[1-

1

(k+2)2

]=

k+2

2(k+1)

•[1-

1

(k+2)2

]=

(k+2)+1

2[(k+1)+1]

即n=k+1时，结论也成立．
故xn=

n+2

2(n+1)

．