Question

（本小题满分13分）
已知, 是平面上一动点, 到直线上的射影为点，且满足
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作曲线的两条弦, 设所在直线的斜率分别为, 当变化且满足时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

(1) y²="4x" (2) 直线AB经过(5,-6)这个定点

解析试题分析：解： （Ⅰ）设曲线C上任意一点P(x,y), 又F(1,0)，N(－1,y),从而 
,,
化简得y²="4x," 即为所求的P点的轨迹C的对应的方程.         ………………4分
（Ⅱ）设、、、
将MB与联立，得：
∴         ①
同理        ②
而AB直线方程为: ，即  ③
………………8分
由①②:y₁+y₂=
代入③，整理得恒成立………………10分
则 故直线AB经过(5,-6)这个定点.. ………………13分
考点：轨迹方程，直线与抛物线的位置关系
点评：解决该试题的关键是利用设点，得到关系式，然后坐标化，进而化简得到轨迹方程。属于基础题。