Question

已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.

(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；

(2)若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）x2＋(y－)2＝

【解析】(1)解法一：直线mx－y＋1＝0恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x2＋(y－2)2＝5的内部，

所以直线l与圆C总有两个不同交点．

解法二：联立方程，消去y并整理，得

(m2＋1)x2－2mx－4＝0.

因为Δ＝4m2＋16(m2＋1)>0，所以直线l与圆C总有两个不同交点．

解法三：圆心C(0,2)到直线mx－y＋1＝0的距离d＝＝≤1<，

所以直线l与圆C总有两个不同交点．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，联立直线与圆的方程得(m2＋1)x2－2mx－4＝0，

由根与系数的关系，得x＝＝，

由点M(x，y)在直线mx－y＋1＝0上，当x≠0时，得m＝，代入x＝，得x[()2＋1]＝，

化简得(y－1)2＋x2＝y－1，即x2＋(y－)2＝.

当x＝0，y＝1时，满足上式，故M的轨迹方程为x2＋(y－)2＝.