Question

12．十一长假期间，各旅游景点游客爆满，甚至发生了游客滞留事件，某著名风景点的工作人员总结了前几年的经验，提前为部分游客设计了旅游路线图，其中的一条平面观光路线DEFD，如图所示
其中D、E、F是以O为圆心，AB为直径的圆周上三点，且AD=BD=$\sqrt{2}$千米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜$\frac{π}{4}$），若游客在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE、DF的长度的比例系数为2，与路线EF的长度的比例系数为1，假定该风景区整体的“留恋度”，y是游客游览所有路线“留恋度”的和
（1）试将y表示为x的函数
（2）试确定当x取何值时，该风景区整体的“留恋度”最佳？

Answer 1

分析 （1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果．
（2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果．

解答 解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，
∴弧EF、AE、BF的长分别为π-4x，2x，2x
连接OD，则由OD=OE=OF=1，
∠FOD=∠EOD=2x+$\frac{π}{2}$，
∴DE=DF=$\sqrt{1+1-2cos（2x+\frac{π}{2}）}$=$\sqrt{2+2sin2x}$=$\sqrt{2}$（sinx+cosx），
∴y=2[2$\sqrt{2}$（sinx+cosx）+π-4x]+（2$\sqrt{2}$+4x）=2[2$\sqrt{2}$（sinx+cosx）-2x+$\sqrt{2}$+π]；
（2）∵由y′=4[$\sqrt{2}$（cosx-sinx）-1]=0，
解得：cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{π}{12}$，
又当x∈（0，$\frac{π}{12}$）时，y'＞0，此时y在（0，$\frac{π}{12}$）上单调递增；
当x∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$）时，y'＜0，此时y在（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$）上单调递减．
故当x=$\frac{π}{12}$时，该公园整体的“留恋度”最佳．

点评 本题是一道难度较大的题，表现在以下几个方面第一需要自己根据条件建立三角函数模型写出解析式，再对解析式进行整理运算，得到函数性质，这是一个综合题，解题的关键是读懂题意．