Question

14．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$x+$\overrightarrow{b}$）²•x²（x∈R）是（　　）

• A． 既是奇函数又是偶函数
• B． 非奇非偶函数
• C． 偶函数
• D． 奇函数

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，再根据f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，故有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$x+$\overrightarrow{b}$）²•x² =（ ${\overrightarrow{a}}^{2}$•x²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$x+${\overrightarrow{b}}^{2}$）•x²=（ ${\overrightarrow{a}}^{2}$•x²+${\overrightarrow{b}}^{2}$）•x² 的定义域为R，关于原点对称，
且f（-x）=（ ${\overrightarrow{a}}^{2}$•（-x）²+${\overrightarrow{b}}^{2}$）•（-x）²=（ ${\overrightarrow{a}}^{2}$•x²+${\overrightarrow{b}}^{2}$）•x²=f（x），
故函数f（x）为偶函数，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．