Question

水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的表面积：用锐角45°的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=1cm，则球的表面积等于

 

cm²．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设球与地面的切点为B，球心为O，连结OA、OB、OP．由切线的性质和四边形ABOP内角和定理，算出∠POB=45°，因此△POA中，可得∠POA=

1

2

×45°=22.5°．由正切的定义在Rt△POA中算出OP=

PA

tan22.5°

=1+

2

得球半径R=1+

2

，再利用球表面积公式可算出答案．

解答： 解：设球与地面的切点为B，球心为O，连结OA、OB、OP
∵四边形ABOP中，OP⊥AP，OB⊥AB
∴∠POB=180°-∠PAB=∠PAC=45°
因此，△POA中∠POA=

1

2

×45°=22.5°
Rt△POA中，OP=

PA

tan22.5°

=1+

2

即球的半径R=1+

2

，
得球的表面积为S=4πR²=4π×（1+

2

）²=（12+8

2

）πcm²．
故答案为：（12+8

2

）π．

点评：本题给出球与等腰直角三角板相切，在已知切点到等腰直角三角形的顶点的距离情况下，求球的表面积．着重考查了切线的性质、四边形ABOP内角和定理、球的表面积公式等知识，属于中档题．