Question

已知在△ABC中，AB=BC=3，AC=4，设O是△ABC的内心，若

AO

=m

AB

+n

AC

，则m：n=（　　）

• A、5：3
• B、4：3
• C、2：3
• D、3：4

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：利用三点共线定理、共面向量基本定理、三角形内角平分线的性质即可得出．

解答： 解：如图所示，
设三角形的三条内角平分线BD、AE、CF相交于点O．
∵B，O，D三点共线，
∴存在实数λ使得

AO

=λ

AD

+(1-λ)

AB

，
∵AB=BC=3，O是△ABC的内心，
∴BD平分AC，
∴

AD

=

1

2

AC

．
∴

AO

=(1-λ)

AB

+

1

2

λ

AC

，
同理由C，O，F三点共线和角平分线的性质可得

AO

=

4

7

μ

AB

+(1-μ)

AC

，
∴

1-λ= 4 7 μ 1 2 λ=1-μ

，解得

μ= 7 10 λ= 3 5

∴

AO

=

2

5

AB

+

3

10

AC

与

AO

=m

AB

+n

AC

比较可得：m=

2

5

，n=

3

10

，
则m：n=4：3．
故选：B．

点评：本题考查了三点共线定理、共面向量基本定理、三角形内角平分线的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．