Question

已知F（-1，0）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点P（0，-3）的直线l与椭圆C交于A，B两点，点C是线段AB上的点，且

1

|PC|2

是

1

|PA|2

，

1

|PB|2

的等差中项，求点C的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）当l过椭圆的焦点且与x轴垂直时，截得的弦为椭圆的通径，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当直线l与x轴垂直时，直线l即为y轴，C（0，

3

-3）；当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为y=kx-3．与椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1联立，得（4k²+3）x²-24kx+24=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能求出点C的轨迹方程．

解答： （本题满分12分）
解：（1）当l过椭圆的焦点且与x轴垂直时，
截得的弦为椭圆的通径，∴

2b2

a

=3
又∵c=1，∴b²=3，a²=4，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）当直线l与x轴垂直时，直线l即为y轴，
此时A（0，-

3

）、B（0，

3

），
|PA|=3-

3

，|PB|=3+

3

，由题意：

2

|PC|2

=

1

|PA|2

+

1

|PB|2

，解得：|PC|=

3

，
∴C（0，

3

-3）．
当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为y=kx-3．
与椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1联立并消元整理得：（4k²+3）x²-24kx+24=0 …①
△=（24k）²-4（4k²+3）×24=96（2k²-3）＞0，∴k²＞

3

2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程①的两个解，由韦达定理得：
x₁+x₂=

24k

4k2+3

，x₁x₂=

24

4k2+3

|PA|²=x₁²+（y₁+3）²=x₁²+（kx₁-3+3）²=（1+k²）x₁²
|PB|²=x₂²+（y₂+3）²=x₂²+（kx₂-3+3）²=（1+k²）x₂²
|PC|²=x²+（y+3）²=x²+（kx-3+3）²=（1+k²）x²
由题意：

2

|PC|2

=

1

|PA|2

+

1

|PB|2

，
∴

2

(1+k2)x2

=

1

(1+k2)x12

+

1

(1+k2)x22

即

2

x2

=

1

x12

+

1

x22

=

(x1+x2)2-2x1x2

x12x22

=

(24k)2-2×24(4k2+3)

242

=

8k2-3

12

，
∴x²=

24

8k2-3

，
又∵点C在直线上，∴y=kx-3，k=

y+3

x

，
代入上式并化简得：8（y+3）²-3x²=24，
即

(y+3)2

3

-

x2

8

=1，
∵k²＞

3

2

，∴0＜x²＜

8

3

，即x∈（-

2 6

3

，0）∪（0，

2 6

3

），
又C（0，

3

-3）满足

(y+3)2

3

-

x2

8

=1，故x∈（-

2 6

3

，

2 6

3

）．
由题意，C（x，y）在椭圆C内部，∴-

3

≤y≤

3

，
又由8（y+3）²=24+3x²有（y+3）²∈（3，4）且-

3

≤y≤

3

，
∴y∈（

3

-3，-1）
∴点C的轨迹方程是

(y+3)2

3

-

x2

8

=1，
其中，x∈（-

2 6

3

，

2 6

3

），y∈（

3

-3，-1）…..（12分）
（如考生未考虑l与x轴垂直，扣（1分）；求轨迹方程后没有求得x，y取值范围的扣1分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．