Question

11．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y²=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若${S_{△AOB}}=2\sqrt{3}$，则双曲线的离心率e=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 由已知条件，分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线，由三角形的面积求出b=2$\sqrt{3}$a，由此能求出双曲线的离心率．

解答 解：y²=4x的准线方程为l：x=-1，
∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y²=4x的准线分别交于A，B两点，△ABO的面积为2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2b}{a}$=2$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$a，
∴c=$\sqrt{13}$a，
∴e=$\sqrt{13}$
故选：D

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线、双曲线的简单性质．