Question

【题目】已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=kx﹣2k+5，对任意的m∈[1，4]，总存在n∈[1，4]，使得f（m）=g（n）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1（﹣1+2+1）

∴f（0）=﹣2

（2）解：令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）

又∵f（0）=﹣2

∴f（x）=x2+x﹣2

（3）解：记f（x）=x2+x﹣2，x∈[1，4]，值域为A，g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]，值域为B，

∵对任意的m∈[1，4]，总存在n∈[1，4]使f（m）=g（n），

∴AB

又f（x）=x2+x﹣2的对称轴 ，

∴f（x）在[1，4]上单增，

∴f（x）min=0，f（x）max=18，

∴A=[0，18]

又g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]

①当k=0时，g（x）=5，

∴B={5}不合题意；

②当k＞0时，g（x）在[1，4]上单增，

∴B=[5﹣k，2k+5]，又AB

∴ ，

∴

③当k＜0时，g（x）在[1，4]上单减，

∴B=[2k+5，5﹣k]，又AB

∴ ，

∴k≤﹣13

所以k的取值范围为：k≤﹣13或

【解析】（1）利用赋值法，令x=﹣1，y=1，可求f（0）（2）利用赋值法，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1），结合f（0）=﹣2可求（3）设函数f（x）x∈[1，4]的值域为A，g（x），x∈[1，4]的值域为B，由题意可得AB，由二次函数的性质可求A，对g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]，分类讨论：①当k=0时，②当k＞0，③当k＜0时，结合函数g（x）在[1，4]上单调性可求B，从而可求k的范围
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质和二次函数在闭区间上的最值的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；当时，当时，；当时在上递减，当时，．