Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
（1）求数列{a_n}的首项a₁与递推关系式：a_n+1=f（a_n）；
（2）先阅读下面定理：“若数列{a_n}有递推关系a_n+1=Aa_n+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{an-

B

1-A

}是以A为公比的等比数列．”请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）令n=1，由S₁=2a₁-3，知a₁=3，再由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，知a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，由此能求出a_n+1=2a_n+3．
（2）按照定理：A=2，B=3，{a_n+3}是公比为2的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由a_n=6•2^n-1-3，知S_n=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2^n-1-3），由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）令n=1，S₁=2a₁-3．∴a₁=3
又S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
两式相减得，a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，（3分）
则a_n+1=2a_n+3（4分）
（2）按照定理：A=2，B=3，
∴{a_n+3}是公比为2的等比数列．
则a_n+3=（a₁+3）•2^n-1=6•2^n-1，∴a_n=6•2^n-1-3．（8分）
（3）∵a_n=6•2^n-1-3，
∴S_n=（6-3）+（6×2-3）+（6×4-3）+…+（6×2^n-1-3），
∴Sn=

6(1-2n)

1-2

-3n=6•2n-3n-6．（12分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列的通项公式的求法和等比数列前n项和的应用．