Question

7．已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，sinx-cosx=$\frac{π}{4}$．若tanx+$\frac{1}{tanx}$可表示成$\frac{a}{b-{π}^{c}}$的形式（a，b，c为正整数），则a+b+c=50．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得a、b、c的值，可得a+b+c的值．

解答 解：∵已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，sinx-cosx=$\frac{π}{4}$，∴1-2sinxcosx=$\frac{{π}^{2}}{16}$，即sinxcosx=$\frac{16{-π}^{2}}{32}$．
若tanx+$\frac{1}{tanx}$=$\frac{sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$=$\frac{1}{sinxcosx}$=$\frac{32}{16{-π}^{2}}$=$\frac{a}{b-{π}^{c}}$，（a，b，c为正整数），
∴a=32，b=16，c=2，则a+b+c=50，
故答案为：50．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．