Question

10．已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x²+3x+2．
（1）求x∈R时，函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间（不要求证明）．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出f（x）在x＞0与x=0时的解析式即可；
（2）根据函数的解析式，结合二次函数的图象与性质，写出它的单调递增区间即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x²+3x+2．
∴当x＞0时，-x＜0，
∴f（-x）=（-x）²+3（-x）+2=x²-3x+2；
又f（x）是奇函数，
∴当x＞0时，f（x）=-f（-x）=-x²+3x-2；
当x=0时，f（0）=-f（0），
∴f（0）=0；
∴x∈R时，函数f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3x+2，x＜0}\\{0，x=0}\\{{-x}^{2}+3x-2，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）x＜0时，f（x）=x²+3x+2，
∴当-$\frac{3}{2}$≤x＜0时，f（x）是增函数；
x＞0时，f（x）=-x²+3x-2，
∴当0＜x≤$\frac{3}{2}$时，f（x）是增函数；
∴函数f（x）的单调递增区间是[-$\frac{3}{2}$，0）和（0，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了求函数解析式的应用问题，是基础题目．