【题目】已知命题函数
在
上单调递增;命题
函数
至少有1个零点.
(1)若为假,求实数
的取值范围;
(2)若为假,
为真,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)因为为假,则命题
为真.令
,分离参数并构造函数
,求得
,由
的符号判断函数
的单调性与极大值.结合函数图像即可求得
的取值范围;
(2)先求得当命题为真命题时
的取值范围.再由
为假,
为真可知
一真一假.分类讨论
真
假、
假
真,即可求得
的取值范围.
(1)依题意若为假,则命题
为真,
令,
解得,
令,则
,
故当时,
,
当,
,
作出函数图象如下所示,
所以当时,
取得极大值,为
由图像可知若至少有一个零点,则
,
即;
(2)当命题为真时,函数
在
上单调递增,
显然时,不符合题意,
由二次函数性质知解得
;
若为假,
为真,则
一真一假:
若真
假,则实数
满足
则
;
若假
真,则实数
满足
则
;
综上所述,实数的取值范围
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,设倾斜角为
的直线的参数方程为
为参数).在以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
,直线与曲线
相交于不同的两点
,
.
(1)若,求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若为
与
的等比中项,其中
,求直线的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,平面平面
,
,四边形
为平行四边形,
,
为线段
的中点,点
满足
.
(Ⅰ)求证:直线平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)若平面平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆(
)的左、右焦点为
,右顶点为
,上顶点为
.已知
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段
为直径的圆经过点
,经过原点
的直线
与该圆相切,求直线
的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,点
满足
,记点
的轨迹为
.斜率为
的直线
过点
,且与轨迹
相交于
两点.
(1)求轨迹的方程;
(2)求斜率的取值范围;
(3)在轴上是否存在定点
,使得无论直线
绕点
怎样转动,总有
成立?如果存在,求出定点
;如果不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四面体ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,,AD=CD=
,O是AC的中点,E是BD的中点.
(1)证明:DO⊥底面ABC;
(2)求二面角D-AE-C的余弦值.
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