【题目】已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意.
【答案】:(Ⅰ);
(Ⅱ)的单调增为单调减区为.
(Ⅲ)见解析
【解析】
试题(1)根据导数的几何意义,可知,所以先求函数的导数,然后代入,即得.
(2)根据导数求函数的单调区间,第一步先求,因为,所以,第二步,令,求,或的解集,即为函数的单调增,减区间;
(3)第一步先求函数,再设,第二步求,以及求函数的极值点,分析两侧的单调性以及最大值,第三步,分析当时,,所以,即命题成立.
试题解析:解 (1)由f(x)=,
得f′(x)=,x∈(0,+∞),
由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
所以f′(1)=0,因此k=1.
(2)由(1)得f′(x)=(1-x-xln x),x∈(0,+∞),
令h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),
当x∈(0,1)时,h(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0.
又ex>0,所以x∈ (0,1)时,f′(x)>0;
x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞)
(3)因为g(x)=xf′(x),
所以g(x)=(1-x-xln x),x∈(0,+∞),
由(2)得,h(x)=1-x-xln x,
求导得h′(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2).
所以当x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;
当x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减.
所以当x∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e-2)=1+e-2.
又当x∈(0,+∞)时,0<<1,
所以当x∈(0,+∞)时,h(x)<1+e-2,即g(x)<1+e-2.
综上所述结论成立
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度,随机调查了40个用户,得到用户的满意度评分如下:
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本,且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据;
(2)计算所抽到的10个样本的均值和方差;
(3)在(2)条件下,若用户的满意度评分在之间,则满意度等级为“级”.试应用样本估计总体的思想,估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少?(精确到)
参考数据:.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以,, ,,,分组的频率分布直方图如图示.
(Ⅰ)求直方图中的值;
(Ⅱ)求月平均用电量的众数和中位数;
(Ⅲ)在月平均用电量为,,的三组用户中,用分层抽样的方法抽取10户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知下列命题:
①在线性回归模型中,相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率, 越接近于1,表示回归效果越好;
②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1;
③在回归直线方程中,当解释变量每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位;
④对分类变量与,它们的随机变量的观测值来说, 越小,“与有关系”的把握程度越大.其中正确命题的序号是__________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两人进行射击比赛,各射击局,每局射击次,射击命中目标得分,未命中目标得分,两人局的得分情况如下:
甲 | ||||
乙 |
(Ⅰ)若从甲的局比赛中,随机选取局,求这局的得分恰好相等的概率.
(Ⅱ)如果,从甲、乙两人的局比赛中随机各选取局,记这局的得分和为,求的分布列和数学期望.
(Ⅲ)在局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出的所有可能取值.(结论不要求证明)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数的反函数为,若存在函数使得对函数定义域内的任意都有,则称函数为函数的“Inverse”函数.
(1)判断下列哪个函数是函数的“Inverse”函数并说明理由.
①;②;
(2)设函数存在反函数,证明函数存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数的值域为;
(3)设函数存在反函数,函数为的一个“Inverse”函数,记,其中,若对函数定义域内的任意都有,求所有满足条件的函数的解析式.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com