Question

【题目】如图，平面平面，，四边形为平行四边形，，为线段的中点，点满足.

（Ⅰ）求证：直线平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)见证明； (3)

【解析】

（Ⅰ）连接，交于点，利用平几知识得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论，（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量垂直进行论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定理得结果，（Ⅲ）建立空间直角坐标系，根据面面垂直得两平面法向量垂直，进而得P点坐标，最后利用空间向量数量积求线面角.

（Ⅰ）证明：连接，交于点，连接

在平行四边形中，因为，所以，

又因为，即，

所以，

又因为平面，平面，所以直线平面.

（Ⅱ）证明：因为，为线段的中点，所以，

又因为平面平面于，平面所以平面

在平行四边形中，因为，所以

以为原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，

则

因为平面所以设，

则

所以

所以，又因为

所以平面，又因为平面

所以平面平面.

（Ⅲ）解：因为

设为平面的一个法向量

则不妨设

因为

设为平面的一个法向量

则不妨设

因为平面平面，所以，所以

因为

所以

所以，

所以

所以直线与平面所成角的正弦值为.