Question

7．设x，y满足条件|x-1|+|y|≤2，若目标函数z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（其中a＞b＞0）的最大值为5，则a+8b的最小值为$\frac{21}{5}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得5=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$，然后利用基本不等式求得a+8b的最小值．

解答 解：由约束条件作出可行域如图，A（1，2）．
目标函数z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（其中a＞b＞0）的最大值为5，
∴5=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$，
∴$\frac{1}{5}$•（a+8b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=$\frac{1}{5}$（1+16+$\frac{2a}{b}$+$\frac{8b}{a}$）
≥$\frac{1}{5}$（17+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{8b}{a}}$）=$\frac{21}{5}$，
当且仅当a=1，b=$\frac{1}{2}$取等号，
故则a+8b的最小值为$\frac{21}{5}$

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．