Question

19．已知f （x）=xlnx．
（I）求f （x） 在[t，t+2]（t是大于0的常数）上的最小值；
（Ⅱ）证明：?x∈（0，+∞）都有1nx＞$\frac{1}{e^x}$-$\frac{2}{ex}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数的单调区间，由t＞0可得t＞t+2＞$\frac{1}{e}$，然后分0＜t＜$\frac{1}{e}$和t≥$\frac{1}{e}$求得f （x） 在[t，t+2]上的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈（0，+∞）时，f（x）=xlnx的最小值是$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$，问题等价于证明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，设$m（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0\;，\;\;+∞））$，利用导数求出函数m（x）的最大值证得结论．

解答 （Ⅰ）解：f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$．
当$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{e}}）\;，\;\;f′（x）＜0\;，\;\;f（x）$单调递减；
当$x∈（{\frac{1}{e}\;，\;\;+∞}），\;\;f′（x）＞0\;，\;\;f（x）$单调递增．
∵$t＞0\;，\;\;t+2＞2＞\frac{1}{e}$，
∴①当0＜t＜$\frac{1}{e}$时$，f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$；
②当t≥$\frac{1}{e}$时，f（x）_min=f（t）=tlnt．
∴$f（x）_{min}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{e}，0＜t＜\frac{1}{e}}\\{tlnt，t≥\frac{1}{e}}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当x∈（0，+∞）时，f（x）=xlnx的最小值是$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$，
（当且仅当x=$\frac{1}{e}$时取到最小值）．
问题等价于证明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，设$m（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0\;，\;\;+∞））$，
则$m′（x）=\frac{1-x}{e^x}$，可得$m{（x）_{max}}=m（1）=-\frac{1}{e}$，（当且仅当x=1时取到最大值）．
从而对一切x∈（0，+∞），都有$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．

点评 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查数学转化思想方法，训练了函数构造法，是中档题．