Question

4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x=1对称，若x∈（0，1]时，f（x）=log₂x，则x∈[5，9]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（6-x），5≤x＜6}\\{-lo{g}_{2}（x-6），6＜x≤7}\\{-lo{g}_{2}（8-x），7≤x＜8}\\{lo{g}_{2}（x-8），8＜x≤9}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 运用奇函数的定义和对称性的定义，可得-f（x）=f（x+2），将x换为x+2，可得f（x）的周期为4，求出[-1，0），（-2，-1]，[1，2）的函数解析式，再由周期性和图象平移，即可得到所求解析式．

解答 解：∵定义在R上的奇函数f（x）的图象关于x=1对称，
∴f（-x）=f（2+x），f（-x）=-f（x），
即-f（x）=f（x+2），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数的周期是4．
由f（x）的图象关于原点对称，
由x∈（0，1]时，f（x）=log₂x，
可得x∈[-1，0）时，f（x）=-log₂（-x），
x∈[1，2）时，f（x）=log₂（2-x），
x∈（-2，-1]时，f（x）=-log₂（x+2），
则有x∈[5，6）时，可将x∈[1，2）时的图象向右平移4个单位可得，
则有f（x）=log₂（6-x），
同理可得，x∈（6，7]时，f（x）=-log₂（x-6），
x∈[7，8）时，f（x）=-log₂（8-x），
x∈（8，9]时，f（x）=log₂（x-8）．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（6-x），5≤x＜6}\\{-lo{g}_{2}（x-6），6＜x≤7}\\{-lo{g}_{2}（8-x），7≤x＜8}\\{lo{g}_{2}（x-8），8＜x≤9}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（6-x），5≤x＜6}\\{-lo{g}_{2}（x-6），6＜x≤7}\\{-lo{g}_{2}（8-x），7≤x＜8}\\{lo{g}_{2}（x-8），8＜x≤9}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的解析式的求法，主要考查函数的奇偶性和周期性的运用，以及图象的平移，属于中档题．