Question

15．若数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$，试判断{a_n}是否为等差数列，并说明理由．

Answer 1

分析 根据等差数列的定义，结合数列的递推关系进行求解即可，

解答 解：{a_n}是等差数列．
∵a_n+1=S_n+1-S_n，a_n=S_n-S_n-1，n≥2
∴a_n+1-a_n=S_n+1-S_n-S_n+S_n-1=S_n+1+S_n-1-2S_n，
=$\frac{（n+1）（{a}_{1}+{a}_{n+1}）}{2}$+$\frac{（n-1）（{a}_{1}+{a}_{n-1}）}{2}$-$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$，
即2（a_n+1-a_n）=（n+1）a₁+（n+1）a_n+1+（n-1）a₁+（n-1）a_n-1-na₁-na_n，
即2（n-1）a_n=（n-1）a_n+1+（n-1）a_n-1，
∴当n≥2时，2a_n=a_n+1+a_n-1，
即{a_n}是等差数列．

点评 本题主要考查等差数列的判断，根据等差数列的定义，解当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，是解决本题的关键．