Question

14．设a${\;}^{\frac{2}{3}}$+b${\;}^{\frac{2}{3}}$=4，x=a+3a${\;}^{\frac{1}{3}}$b${\;}^{\frac{2}{3}}$，y=b+3a${\;}^{\frac{2}{3}}$b${\;}^{\frac{1}{3}}$，求（x+y）${\;}^{\frac{2}{3}}$+（x-y）${\;}^{\frac{2}{3}}$的值．

Answer 1

分析 由x=a+3a${\;}^{\frac{1}{3}}$b${\;}^{\frac{2}{3}}$，y=b+3a${\;}^{\frac{2}{3}}$b${\;}^{\frac{1}{3}}$，可得：x+y=$（{a}^{\frac{1}{3}}+{b}^{\frac{1}{3}}）^{3}$，x-y=$（{a}^{\frac{1}{3}}-{b}^{\frac{1}{3}}）^{3}$，即可得出．

解答 解：∵x=a+3a${\;}^{\frac{1}{3}}$b${\;}^{\frac{2}{3}}$，y=b+3a${\;}^{\frac{2}{3}}$b${\;}^{\frac{1}{3}}$，
∴x+y=$（{a}^{\frac{1}{3}}+{b}^{\frac{1}{3}}）^{3}$，x-y=$（{a}^{\frac{1}{3}}-{b}^{\frac{1}{3}}）^{3}$，
∴（x+y）${\;}^{\frac{2}{3}}$+（x-y）${\;}^{\frac{2}{3}}$=$（{a}^{\frac{1}{3}}+{b}^{\frac{1}{3}}）^{2}$+$（{a}^{\frac{1}{3}}-{b}^{\frac{1}{3}}）^{2}$=2（a${\;}^{\frac{2}{3}}$+b${\;}^{\frac{2}{3}}$）=2×4=8．

点评 本题考查了乘法公式的应用、分数指数幂的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．