Question

20．已知函数f（x）=|x-1|+|x+a|，g（x）=|x-2|+1．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥5；
（2）若对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=2代入f（x），通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（2）问题转化为{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，分别求出f（x），g（x）的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）当a=2时，$f（x）=|x-1|+|x+2|=\left\{\begin{array}{l}-2x-1，x≤-2\\ 3，-2＜x＜1\\ 2x+1，x≥1\end{array}\right.$
∴f（x）≥5，即$\left\{\begin{array}{l}x≤-2\\-2x-1≥5\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-2＜x＜1\\ 3≥5\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x+1≥5\end{array}\right.$，
∴x≥2或x≤-3，
∴不等式f（x）≥5的解集为（-∞，-3]∪[2，+∞）．
（2）∵对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使得g（x₂）=f（x₁）成立，
∴{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
f（x）=|x-1|+|x+a|≥|（x-1）-（x+a）|=|a+1|，
（当且仅当（x-1）（x+1）≤0时等号成立），g（x）=|x-2|+1≥1，
所以|a+1|≥1，∴a+1≥1或a+1≤-1，
∴a≥0或a≤-2，∴实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[0，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查集合的包含关系，是一道中档题．