Question

15．对于数列{x_n}，若对任意n∈N⁺，都有$\frac{{x}_{n}+{x}_{n+2}}{2}＜{x}_{n+1}$成立，则称数列{x_n}为“减差数列”．设b${\;}_{n}=2t-\frac{t{n}^{2}-n}{{2}^{n-1}}$，若数列b${\;}_{5}，{b}_{6}，{b}_{7}，…，{b}_{n}（n≥5，n∈{N}^{+}）$是“减差数列”，则实数t的取值范围是（$\frac{3}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 数列b₅，b₆，b₇，…是“减差数列”，可得n≥5时，得$\frac{{b}_{n}+{b}_{n+2}}{2}$＜b_n+1，代入化简即可得出．

解答 解：数列b₅，b₆，b₇，…是“减差数列”，得$\frac{{b}_{n}+{b}_{n+2}}{2}$＜b_n+1，n≥5，
即t-$\frac{t{n}^{2}-n}{{2}^{n}}$+t-$\frac{t（n+2）^{2}-（n+2）}{{2}^{n+2}}$＜2t-$\frac{t（n+1）^{2}-（n+1）}{{2}^{n}}$，
即$\frac{t{n}^{2}-n}{{2}^{n}}$+$\frac{t（n+2）^{2}-（n+2）}{{2}^{n+2}}$＞$\frac{t（n+1）^{2}-（n+1）}{{2}^{n}}$，
化简得t（n²-4n）＞n-2，
当n≥5时，若t（n²-4n）＞n-2恒成立，则t＞$\frac{n-2}{{n}^{2}-4n}$=$\frac{1}{（n-2）-\frac{4}{n-2}}$恒成立，
又当n≥5时，$\frac{1}{（n-2）-\frac{4}{n-2}}$的最大值为$\frac{3}{5}$，
则t的取值范围是（$\frac{3}{5}$，+∞）．
故答案为：（$\frac{3}{5}$，+∞）．

点评 本题考查了新定义“减差数列”、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．