Question

6．双曲线C₁与双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有共同的渐近线，且经过点A（2，-$\sqrt{6}$），椭圆C₂以双曲线C₁的焦点为焦点且椭圆上的点与焦点的最短距离为$\sqrt{3}$，求双曲线C₁和椭圆C₂的方程．

Answer 1

分析 由已知设双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=λ，代入过A（2，-$\sqrt{6}$），求出λ，可得双曲线C₁的方程，利用椭圆C₂以双曲线C₁的焦点为焦点且椭圆上的点与焦点的最短距离为$\sqrt{3}$，求出a，b，即可求出椭圆C₂的方程．

解答 解：由已知设双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=λ，
∵过A（2，-$\sqrt{6}$），∴$λ=\frac{1}{2}$，∴双曲线C₁的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
则焦点F（$±\sqrt{3}$，0），
∵椭圆上的点与焦点的最短距离为$\sqrt{3}$，
∴a-c=$\sqrt{3}$，
∴$a=2\sqrt{3}$，∴b=3，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查双曲线方程、椭圆方程与性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键．