Question

18．设k∈R，动直线l₁：kx-y+k=0过定点A，动直线l₂：x+ky-5-8k=0过定点B，并且l₁与l₂相交于点P，则|PA|+|PB|的最大值为（　　）

• A． $10\sqrt{2}$
• B． $5\sqrt{2}$
• C． $10\sqrt{5}$
• D． $5\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由动直线l₁：kx-y+k=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，解得A（-1，0），同理可得B（5，8）．|AB|=10．当PA⊥PB时，|PA|²+|PB|²=|AB|²=100，利用|PA|+|PB|≤$\sqrt{2（|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}）}$即可得出|PA|+|PB|的最大值．

解答 解：由动直线l₁：kx-y+k=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，解得A（-1，0），同理可得B（5，8）．
∵|AB|=$\sqrt{（5+1）^{2}+（8-0）^{2}}$=10．
∴当PA⊥PB时，|PA|²+|PB|²=|AB|²=100
∴|PA|+|PB|≤$\sqrt{2（|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}）}$=10$\sqrt{2}$
当且仅当|PA|=|PB|=5$\sqrt{2}$时取等号．
∴|PA|+|PB|的最大值为10$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了直线系、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．